東大２次試験(2017): 問題４（その０）

行列の問題が高校数学から削除されてしまい、しばらくやる気が無くなってしまった。

そもそも、研究で使う量子力学なら、面白い切り口で高校数学と向き合えるかな、と思ったのがこのブログを書き始めた主な動機だったから、行列がなくなったのは痛手だった。

最近、力学など大学初年度の物理を担当するようになって、自分の知識に幅が出て来たのと、研究でも数理物理的なテーマに興味を持ち始めたので、行列でなくても何か議論できるかもと思い直した。特に、整数の問題は面白いものが多いので、手始めに今年の東大の２次試験の四番から再開してみようと思う。

理論物理学者が整数や整式の問題に興味を持つのは、やはり量子力学が理由だろう。例えば、１次元の調和振動子を級数展開で解く際には、連続（実数）だと思っていたエネルギーを量子化することにより（つまり整数を使って「デジタル化」する）、級数を多項式（エルミート多項式）に落とし込み、量子化条件と波動関数を手に入れる。多項式の偶奇性（パリティ）とか、次数とか、そういう考え方にとても親近感を感じる。

前置きはこのくらいにしておいて、さっそく問題の分析に入ろう。この問題は整式とか、多項式とか、素数とかが中心にあるのだが、面白いことに無理数p=2+√5が初っ端に登場する。ポイントはpの逆数がpと密接に関連するような特別な無理数を選んでいるところだ。この性質により、様々な面白いことが発生する。

まず２つの自然数μ, νを使って無理数pを,

と表すことにする。この問題ではμとνの間に特別な関係を設定して、逆数1/p=qが

 となるようにしている点が面白い。これが成り立つためのμとνの関係式は

である。試験問題で採用された具体的な値はμ=2, ν=5である。

数式になんらかの対称性（あるいは特別な性質）を要求し、それが成立するための条件式を見出すというのは、量子力学の手法に似ていなくもない。一旦このタイプの「対称性」に気がつけば、おもしろい問題をいろいろとアレンジすることが可能だ。

pとqがこのような関係にあれば, p+qは「純」無理数（ここでは、平方根だけで表現されるという意味）の2√νとなるし、p-qは自然数2μになる。この問題を整数問題にしたければ、p-qと(p+q)²を使うことになる。ただし、後者の量に関しては、pq=1なので、(p+q)²=p²+q²+2となる。したがって、実質的にはp-qとp²+q²が基本量ということになるだろう。(p-q)²=p²+q²-2だから、これは実質的にはp²+q²に等価な量だ。

「これ以外の新しい量を探す」という観点からすると、次は(p-q)³ということになるだろう。これも展開すると

となるので、新たな基本量としてはp³-q³ということになるだろう。このようにして問題で与えられた数列a_nが規定されたと考えられる。