センター試験の数学Ⅰ（その１）

最後の更新から随分時間が経ってしまったが、仕事も一段落し、春まではまた時間が少し取れそうだ。また少しずつ考察を再開してみようと思う。

本日からは、昨日行われたセンター試験の数学の問題をちょっとずつ見ていこうと思う。

まずは数I。第一問は面倒くさそうに見える計算を、如何に簡単に計算するか、という計算の問題。これは昨年と同じ類いだ。今回は無理数が２つ与えられていて、次のような形となっている。

n,mは自然数。a,bは、分母と分子のそれぞれが、符号だけ異なる無理数になっているから、(x+y)(x-y) = x² - y²が思い起こされる。だから最初に計算してみたいのはab、つまりaとbの積だ。実際それが最初の問いとなっている。答えはab=(1-n)/(1-m)と商の形となる。問題ではn=3, m=2だから、ab=2。

次は和、つまりa+bの計算。今度は通分するのがポイントなので、分母だけに(x+y)(x-y) = x² - y²を使う。(a+b) (1-m) = (1+√n)(1-√m) + (1-√n)(1+√m)　= 2(1-√(nm))。つまり、

と、うまい具合に√n、√m の項はキャンセルする。1-m=-1であることに気をつけると、a+b = -2 (1-√6)=2(-1+√6).

次は、a²+b²の計算だが、これはa²+b²=(a+b)²-2abと展開公式を使って、上で求めた和と積の結果を再利用すれば、ちょっとだけ計算が楽になる。最初に(1-√(nm)の二乗を計算しておくと、1+nm-2√(nm) = 1+6 - 2√6 = 7-2√6。だから(a+b)²=4(7-2√6), 2ab = 4となる。したがって、a²+b²=4(7-2√6 - 1) = 4(6-2√6) = 8(3-√6)となる。

（２）の最初はa²+ b² + 4(a+b) = 8(3-√6) + 4・2(-1+√6) = 8 ( 3-√6 -1+√6) = 16。この式はaとbに関する二次式。だが、ab=2という関係式と組み合わせろ、という要求を覚えておく。最後の問いは、aの４次方程式が先の２つの方程式から導けるはずだ、という提案。要はbを消去せよということだ。そこで両辺にa²を掛けて、abの形を見えやすくする。a,bの２次式にa²を掛けるので、aについて考えればaの４次式にもなる。a⁴+(ab)² + 4(a³+a (ab)) = 16a²、これをまとめればa⁴+4 + 4(a³+2a) = 16a²。つまり、a⁴+4a³-16a²+ 8a+4 =0。

最後の問題はちょっと不自然な感じもしないでもないが、２、３分もいじれば対処できるだろう。もちろん、日頃から受験勉強に慣れ親しんでいる人にとってみれば、「条件反射」だろうが...