東大２次試験(2017): 問題４（その１）

問(1)はa₁とa₂を計算するだけの、試験問題としては簡単なものだ。教育的には、無理数の四則演算に関しての習熟度を問う、とかいうのが目的なんだろう。

力学的、あるいは量子力学的に（無理に考えれば）、２回の微分方程式を級数展開法で解く際に必要となる、２つの初期条件、あるいは級数の係数数列の最初の２つの要素の値、に相当するといえるのかも。

もっと簡単に考えれば、例えばある時間tにおける質点の位置x(t)を計算するときは、それより前の時間、例えばt-Δtにおいて測定した少なくとも２つの物理量必要だということだ。つまりx(t) = x(t-Δt)+v(t-Δt)Δt+....となるが、これはテイラー展開の考え方でもある。0<Δt<<1が満たされれば、この式の精度はよくなる。

また、数学的に見れば、フィボナッチ数列のように、a_n+1をa_nとa_n-1から導出するという考え方に準拠したものと言えるかもしれない。フィボナッチ数列は漸化式a_n+1=a_n+a_n-1によって生成されるが、最初にa₁とa₂を与えておかなければことは始まらない。通常はa₁=a₂=1とする。

(1) p-qの計算では、前回も書いたように、p=2+√5とおいた時に

が成り立つことに、まずは気づいて欲しいという「親心」だろうと思う。p-qという量は差であり、整数を与える。これをa₁とおくというわけだ。答えは、a₁=2x2=4。

(2)次はp²+q² の計算。前回、これも基本量であると考察した。pq=1という重要な関係に注意すると、(p+q)²=p²+q²+2である。これを利用してp²+q²=(2√5)² - 2 = 18=a₂が得られる。試験問題的にはp-qが(1)で計算してあるのだから、(p-q)²=p²+q²-2とするのが普通だろう。