東大２次試験(2017): 問題４（その2）

(2) n ≧ 2とする。積a1an を, an+1 とan−1 を用いて表せ。

漸化式を求める問題だ。数列の典型的な問題に見えるが、p=μ+√ν, 1/p = -μ+√νという性質に着目して解いて見たい。複素関数の問題では、複素共役をとると虚部の符号だけ反転するという性質をよく利用するが、それに似たような性質である。p+qとp-qをうまく利用すれば、平方根(νを含む）部分と自然数(μを含む）部分に分離できる。

pn±1 =pn·p^±1=pn(±2+√5)である。q=p-1=-2+√5に注意。また、

である。従って,この量の和（n=偶数のとき）／差（n=奇数のとき）は、

となる。ただし新しい数列b_nを

 と定義した。b_nが消去できるのがここでのポイントである。それには「差」を考えればよく、

 を得る。a₁=4であることに気をつけると求める解答は a₁a_n = a_n+1 - a_n-1となる。