センター試験の数I（その７）

二次方程式の解は、意外なほどに綺麗にまとまるのだが、そこに到るまでの計算過程はちょっと面倒だ。すべてを書くとごちゃごちゃするので、ここでは結果を利用した図のみを示しておこう。ついでに、直線ACを延長して、ADとの交点Eも描き込んでおいた。

弧CDについての円周角CAE(=xとする）は、同じ弧を共有する円周角CBDと等しい。直線BDは角ABCの２等分線だから、角CBD=角ABD=xが成り立つ。つまり、角ABC=2x。△ABCはAB=CDの２等辺三角形なので、角ABC=角ACB。つまり、(1/2)角ACB=角CAEが成り立つ。

外角ACB=内角(CAE + AEC)という関係に、上の結果を代入すると、△AECは、AC=CE=4の２等辺三角形であることがわかる。

最後は余弦定理により、AE²=AC²+CE²-2AC・CE cos(π-θ)、ただしθ=角ACB=ABCなのでcosθ=1/4となる（問題で与えられている）。よってAE = √(32 + 32/4) =√(40)=2√(10).

まとめると、

△ACEと△ADCは相似形の２等辺三角形。AC:AE=4:2√(10)=1:√(10)/2。よって、AD:CE=x:4=1:√(10)/2から、x=4√(10)/5となる。また、長さの比の2乗が面積の比となるので、S(△ADC):S(△ACE)=1:10/4=1:5/2。また、S(△ACE)=4×4×sin(角ACE)/2 。sin(角ACE)=sin(π-θ)=sinθ=√(15)/4だから、S(△ACE)=2√(15). 従って、S(△ADC)= 2√(15) / (5/2) = 4√(15)/5

大学入試では、古代ギリシア時代に発展した「ユークリッド幾何学」を駆使し、ところどころに三角関数を用いた解析を使えば、問題は解ける。しかし、対応する作図をpostscriptで描くには二次方程式を解いたり、円と直線の方程式を連立させる等、代数の手法を使って問題を解決する。中世のデカルトによる代数幾何学の発展により、幾何学は代数で解決できることがわかったことは、大きな進歩だったといえる。postscriptは、この恩恵をおおいに享受している！