東大２次試験(2017): 問題5(その3)

問(2)の続き。

確認のため、３次関数をもう一度書くと、

となる。

今回は、対称性の考察からx₀ = -1/2という解を幸運にも見つけ出すことができた。因数分解により、残りの２つの解は２次方程式を解いて得ることができる。実数解の条件である判別式が正の場合（D=(4k+3)(4k-1) > 0）、 つまり　k < -3/4、あるいはk > 1/4において、残る２つのの接点のx座標は

と計算される。

a=2x₀、b=x₀²+k = 2(k + 1/4)x₀ + k - 1/4を使って共通接線を引いてみると、「たすきがけの解」の意味あいがはっきりする。例によってpostscript言語によって図を描画してみると次のようになる。まずはわかりやすいk=1( > 1/4)の場合から。

k=1の場合。共通接線は３本引ける。赤線が「蛾の羽の先端解」。緑と青の線が「たすきがけの解」

図を見ると、どうも「たすき掛けの解」はy=xに関して線対称になっているように見える。この点については後ほど議論する。

次はいよいよk=-2 (< -3/4)の場合だ。「蛾の羽の先端解」以外の解が、果たして「たすき掛けの解」に似たようなものになっているのか、それとも全く異なる想像を絶するようなものなのか？

k＝-2の場合。「たすき掛け」は放物線の「外」に出ている。

結局、「たすき掛け」によく似た形になっているのがわかる（青線、緑線に対応）。世の中、想像を絶するようなことはそうそう起こらないものだ。それぞれの接線は、y=xに対して線対称の関係にあるように見える。放物線と放物線の間の領域が「閉じて」しまったため、いわば、共通接線は、「蛾の羽の先端」をかすめつつ、蛾の止まる「葉の縁」へと接している。「葉の縁」に接するかどうかは、なかなか直感では判断つきにくい。そうかもしれないが、そうじゃないかもしれない、と疑いはもてるものの、断定できない。数式はそこを「無機質に」ではあるが、断定してくれるので、ありがたい。

k < -3/4の領域でどのように３本の共通接線が存在できるのか、直感的な理解はできた。しかし、第二臨界点であるk= -3/4では、たった１本だった共通接線が、k < -3/4の領域に入った途端、突然３本に増加するという、このメカニズムは、いまだに理解しがたいものがある。なんとなく、蛾の羽の先端が開くとき、一気に縮退が解ける感じは想像できるのだが、図をつかってその様子を明らかにしておこう。

臨界点からわずかにずれた、k= -3.001/4.0 あたりを見てみよう。

k= - 3.001 / 4.0　の場合。

この図からわかったのは、対称性の縛りが、どうしても３本の共通接線を作り出している、ということである。k= -3/4の縮退は y=xと線対称な直線y=-x+bへの縮退であった。このとき、y=-x+bに線対称な直線は自分自身である。これが縮退の正体である。ところが、若干でも臨界状態からずれたとたん、縮退がほどけた接線のうち、線対称でなくなった直線（例えば緑線）は、その直線に線対称な直線（青線）の存在を許すことになる。こうして、一本だった共通接線は第二臨界点を界に突然３本に増えるのである。

第一臨界点(k= 1/4)での縮退の正体は、共通接線が対称線y=xに重なるというものだった。たしかにy=xはy=xに対して「線対称」ではあるが、y=xとは直交してない。このため、縮退が解けても、線対称の関係にある青線と緑線の２本しか発生しなかったのである。直交する共通接線、つまり蛾の羽の先端解はひとり別のところ(x₀=-1/2)で、y=xに直交する共通接線を作っていたのである。

さて、この辺りで試験問題の解答も解いておこう。a=2の場合である。問(1)ではb, kをaで表現したので、それを使えばよい。が、あの表式はa≠ -1, 0という縛りがあったのを忘れるべからず。とりあえず、a=2の計算はできるので計算すると、k = 3/8を得る。また、b = -5/8である。

今まで見た来たように、この問題でもっとも重要なのはパラメーターkである。k=3/8というのは第一臨界点k=1/4の上部、すなわち 3/8 > 1/4にある。この領域で、共通接線の数は３本あることを我々はすでに知っている。また、この時「蛾の羽の先端解」と「a=2に線対称な解」があることも我々はすでに知っている。蛾の羽の先端解の場合、傾きは常にa=-1である。接点はもう何度も出て来たようにx₀=-1/2である。ここで導いた関係式b = -x₀²+kを使ってb=1/8が得られる。対称解は、すでに得られた答えy=2x-5/8に対して、x,yの交換を行なって求める。交換するとx=2y-5/8、したがって、y=(1/2)x + 5/16である。

一般にy=xに線対称な２本の直線は、片方がy=ax+bという形なら、残りはy=(1/a)x - b/aという形になる。つまり、傾き同士の積が１となる。これは、直交する２本の直線の傾き同士の積が-1になる、というよく使われる関係式によく似ている。きっと、またどこかの問題で使えるはずである。