センター試験数学IA: 条件付き確率の問題の再考(4)

問(1)では、全体集合Uがなんなのか、いまひとつはっきりしない、という議論を前回行った。前にも書いたが、この問題は答えだけは正しく求められるのである。では、その正解を用いて、全体集合Uについてなにか手がかりを得られないか、「逆アセンブル」してみよう。

正解はもちろん、
\[
P(T^C\cap B_{Rr}) = P(r|B_R)P(T^C) =  \frac{n(B_{Rr})}{n(B_R)}\cdot\frac{n(T^C)}{n(D)} =\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}
\]
分子の部分は十分に納得できる内容だ。すなわち、考えるべき最初の事象\(T^C\subset D\)と次に起きるもう一つの事象\(r\subset B_r\subset B\) の部分集合同士の直積集合\(T^C\otimes B_{Rr}=T^C\cap B_{Rr}\)に対応している。
\[
n(T^C\cap B_{Rr}) = n(T^C)n(B_{Rr}) = 4\cdot 2
\]
となると、分母の部分が全集合に相当する部分であるから、
\[
n(B_R)n(D) \rightarrow n(U) = 3\cdot 6
\]
と理解するべきということだ。つまり、
\[
U=D\otimes B_R
\]
と理解しなさい、というのが「逆アセンブル」の結果ということになる。

サイコロの目に三の倍数が出る場合は、白い袋での試行となるので、その場合は
\[
U=D\otimes B_W
\]
となるだろう。

全集合UがDの結果によって変わるというのは、DとBは独立事象でないことから（なんとか）理解できる。しかし、上の結果をちょっと意外に感じる人は多いのではないだろうか？

Dの結果により袋の色は変わるので、 \(T\subset D\)は\(B_W\)と接続し、\(T^C\)は\(B_R\)と接続する。したがって、全集合は\[U=B_W\otimes T + B_R\otimes T^C\]という風に書けるのでは、と考える人は一定の割合でいると思う。しかし、これでは正解にたどり着けない。

条件付き確率の問題というのは、意外に難しいということが、今回の分析でもあぶり出されたような気がする。高校の教科書では全集合Uが変わる可能性などは解説されていないし、全体集合が表現しにくい場合も書いてない。大学で学ぶ確率論では、こういう問題はどのように取り扱っているのか、興味が湧いてきた。

とはいえ、これ以上、この問題に時間を割くのは得策ではないだろう。条件付き確率の問題は、なかなか難しいということを肝に銘じつつ、精進を積んでいくことにしよう。いずれ、この疑問に対する答えは与えられるものと信じることにして。