センター試験数学IA: 条件付き確率の問題の再考(2)

教科書によくあるタイプの問題では、まず「人間」という「根源事象」uを考え、この根源事象が、たとえば100個集まってできる集合Uを全集合(Universal set)として定義する。

次に、Uの部分集合(subset)を定義するために、性別という事象Sを考える。$S=M\oplus F$という直和で書ける（社会的に微妙なところはこの問題では無視し、MとFは互いに排反な事象と仮定し、Sはその和事象であるとする）。したがって、Sの全体は、Uの全体と一致する。事象M、Fが作る部分集合もM、F と表すことにする。その要素の数が例えば、$n(M)=40, n(F)=60$であるとする。この集団の中から人間を一人抽出した際に、Mとなる確率はP(M)=0.4、Fとなる確率はP(F)=0.6となる。排反な和事象なのでP(M)+P(F)=1.0という確率保存則も成り立つ。

Uの中に、もう一つ別の部分集合を考える。たとえば、サッカーをやった経験があるかどうかという事象Fを取り上げよう。経験者はY、未経験者をNとすると、この場合も$F=Y\oplus N = U$となる。YとNは（通常は）排反事象である。n(Y)=50, n(N)=50とする。
つまり、全事象はSという切り口と、Fという切り口によって、異なるタイプの部分集合の直和として表せることになる。
$$U=S=M\oplus F \\ =F=Y\oplus N$$

となると、S,Fを組み合わせると、Uは４つの部分集合に分割できる。
$$U=(M,Y)\oplus (M,N) \oplus (F,Y) \oplus (F,N)$$
たとえば、男でサッカー経験者は(M,Y)という集合に属し、その要素数をn(M,Y) で表すことにする。例えば、n(M,Y)=35, n(M,N)=5, n(F,Y)=15, n(F,N)=45としよう。

全集合Uから無作為に一人を選んだとき、その人物が(M,Y)である確率は、積事象$M\cap Y$の確率のことであり、
$$P(M\cap Y) = \frac{n(M,Y)}{n(U)} = \frac{35}{100} = 0.35$$
となることはすぐにわかる。この式を変形すると
$$P(M\cap Y) = \frac{n(M,Y)}{n(U)} = \frac{n(M,Y)}{n(M)}\frac{n(M)}{n(U)}\\ = P(Y|M)P(M)$$
となる。実質上、$n(M,Y)=n(M\cap Y)$であるから、条件付き確率の定義は、
$$P(Y|M) = \frac{n(M\cap Y)}{n(M)}$$
となることがわかる。つまり$M\subset U$という部分集合の中における$M\cap Y$という別の部分集合の割合として、$P(Y|M)$は定義されるということだ。

実際, $P(M)=0.4=2/5, P(Y|M)=\frac{n(M\cap M)}{n(M)} = 35/40=7/8$なので、
$$P(Y|M)P(M) = \frac{7}{8}\cdot\frac{2}{5} = \frac{7}{20}=0.35=P(Y\cap M)$$
であることが示せる。

これで、条件付き確率$P(A|B)$と積事象$P(A\cap B)$の確率の違いがわかった。前者は、条件Bで括られる部分集合Bを分母にもつ事象$A\cap B$の確率であり、後者は、事象$A\cap B$の全集合Uに対する確率である。

この基本事項の理解の基に、センター試験の(1)に戻ってみよう。

（つづく）