確率の基礎：（１）和事象

和事象についてまとめておこう。事象Aと事象Bの和事象は$A\cup B$と表される。これは、
$$A\cup B = A + B - A\cap B$$
とも表せる。この関係式は、A+Bは重なり部分$A\cap B$が二重勘定してしまうから、その補正を引いておく必要があるという意味だ。

和事象$A\cup B$は、２つの円の外縁に相当する。
事象A,Bは重なり$A\cap B$を持つことを考慮する必要がある。

全事象Uが$U=A\cup B$であるとする。つまり、AにもBにも属さない事象はないものとする。このとき、確率$P(U)$は１に規格化される（確率の保存則といってもよいかも）。
$$P(U) = 1$$
事象Aが起きる確率を$P(A)$、事象Bが起きる確率を$P(B)$とすると、P(A)+P(B)は１を越えてしまう。というのは、重なり部分が二重勘定されているからだ。したがって、AかつBという事象が起きる確率$P(A\cap B)$を用いて、
$$P(A\cup B) = P(U) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
となる。特に、AとBが排反事象の場合、つまり$A\cap B = \phi$のとき、
$$P(U) = P(A) + P(B)$$
となる。このとき全集合ZはAとBの直和で書ける。
$$U = A\oplus B$$
従って、
$$P(U) = P(A\oplus B) = P(A) + P(B)$$
が成り立つ。