複素数の問題をベクトル感覚で解く：東大2017問題３に応用

では、これまでの準備(その１、その２）を基に、東大2017問題３を再び解いてみよう。

東大の問題では点αの垂直二等分線上を動く点z=x+iyの逆数が描く軌跡を求めることになっていたが、今回はより一般の場合に拡張することにしょう。すなわち、直線ax+by+c=0の上を動く点をz=x+iyと表すとき、1/zが描く描く軌跡が円となることを示そう。

例によって、オイラーの公式(e^iθ=cosθ+i sinθ)と極座標（x=r cosθ, y=r sinθ)を用いると、直線上の点はまずz=re^iθと書くことができる。この逆数は1/z = (1/r)e^-iθとなる。

直線の方程式も極座標で書いてしまおう。
ax+by+c=0 → r(acosθ+bsinθ)+c=0

上の方程式から、rをθ、a, b, cで表すことができる。これを1/zに代入すると
1/z = - e^-iθ(acosθ+bsinθ)/c
となる。

次に、
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2,  sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/(2i)
という恒等式を使って、1/z中の三角関数の表現を消去する。すると、

1/z = (-a+ib)/c - e^-2iθ(a+ib)/(2c)

という表現を得る。(a+ib)/2c は複素数だから、
(a+ib)/2c = r₀ e^iθ₀
と表すことができる。ただし、tanθ₀ = b/a、および r₀² = (a²+b²)/(4c²)である。

したがって、以上をまとめると
1/z =  (-a+ib)/c - r₀ e^{-i(2θ-θ₀)}となる。

すなわち、1/zは円の軌跡であり、中心の位置は(-a+ib)/c、半径はr₀である。ちなみに、zの回転方向とは逆向きに回転し、そのスピードは２倍となる。また、回転の出発地点（位相）は-θ_０だけずれる。

この結果を東大の問題に適用してみよう。以前の計算結果を利用すると、
a=α₀,  b=α₁,  c=-(α₀²+α₁²)/2
である。これを代入すると、簡単に以前得た解答が再現される。

この問題の解き方は、以前のゴリゴリ計算した方法よりもずっと楽だ。やはり、複素数は素晴らしい！