複素数の問題を幾何の問題にしてしまう：東大2017問題3

複素数を用いた問題。でも実際は図形の問題に過ぎない。予備校が発表した模範解答は、どれも複素数の性質を駆使した「エレガントな」解法を採用しているようだが、よっぽど複素数の美しさに心打たれてない限り、実数＋図形問題に落として考えた方が勉強時間の節約になる。つまり、複素数が苦手な人向けの模範解答を今回は考えてみよう。

[問題文] 原点以外の点zに対し、w=1/zとする。
(1)αを0でない複素数とする。点αと原点Oを結ぶ線分の垂直２等分線をLとする。点zがLを動くとき、点wの軌跡は円から１点を除いたものになる。この円の中心と半径を求めよ。

[解答] 複素数zは２つの実数x, yを用いて、z=x+iyと表せる。これをxy-座標系と同一視することができるから、zを点(x,y)と解釈することができる。

さて、w=1/z = (x-iy)/(x²+y²)　= u+iv とする。u, vは実数であり、今x,yによってパラメータ表示されている。すなわち、

u = x/(x²+y²),  v = - y/(x²+y²)　..... (1)

ただし、x²+y²=0の場合は除外する必要がある。 この表式からxとyを消去して、s,tだけの関係式を求めることができれば、それが求める軌跡となる。しかし、まだzが線分Lの上を動くという条件を使っていない。この条件を使う前に、「Lの上」というどんぴしゃの条件を少し緩和して、一般の直線上をzが動く場合をまずは考えて見よう。つまり、xとyの間には線形関係、ax+by+c=0, (a,b,c)は定数、が成立している場合を考えることにする。

この条件を適用すると、パラメータ表示の式(1)からyもしくはxを消去することができる。ここでは、問(2)のことを考え、xを消去してみることにする。つまり、a≠0を仮定して、x = -(b/a)y-(c/a)と条件式を変形し、(1)からxを消去する。

ここからyを消去するのは、一見非常に難しいことのように思える。しかし、問題文には「軌跡は円となる」とありがたいヒントがあるので、それを利用することにする。つまり、中心(u₀,v₀)と半径Rを未知数として、

(u-u₀)²+(v-v₀)²=R²　.........（２）

と書き下し、そこに上のパラメータ表示を代入する。すると、(2)式の左辺は、yについて４次式同士の商の形になる。

望むらくは、上の表式において、「分子 = 半径の自乗×分母」の形が実現していることである。4次の項を比較して見ると、この構造が可能かどうか見当がつく。分母の方は(a²+b²)²である。一方、分子の方は

と計算される。したがって、半径の目星として

 が成立していたらとても嬉しい。この予想を元に、今度は0次の項を比較する。そうすると、ac²(a+2cu₀)=0という条件式が手に入る。a,cともに０でないとすると

を得る。次は３次の項を比較して見る。そうすると、2a(a²+b²)(bu₀+av₀)=0という条件式が得られる。a,bともに０でないとすれば、bu₀+av₀=0であり、これに上の結果を合わせると、

を得る。さて、これで答えの候補は見つかったが、残りの１次と２次の項に、これらの推測を代入し、辻褄があうかどうかは確認する必要がある。実際にやってみると、上の推理に基づいても矛盾のない結果をC₁, C₂について導出することができる。計算量はそれなりにはあるが、それほど複雑でもない。ここでは計算の詳細は省略する。

以上の結果をまとめると、求めるべき解は

となった。これまでの考察により、直線ax+by+c=0上を動くzに対し、w=1/zは円の軌跡を与え、その中心と半径は上の表式で一般に与えられることが示された。

さて、この問題で与えられた条件を使って、a,b,cに具体的な値を入れてしまおう。それがこの問の最終的な解になる。

まずα=α₀+iα₁とおく。α₀, α₁は実数である。

直線Lの方程式を得るには、線分L'（すなわち原点Oと点αを結ぶ線分）の傾きを知る必要があるが、それはα₁/α₀と与えられる（これはαの偏角をθとしたとき, tanθに対応している）。したがって、直線Lの傾きは-α₀/α₁となる(L'の垂直二等分線だから)。また、直線Lは、L'の中点α/2を通過する。したがって、Lの方程式は y = -(α₀/α₁)(x-α₀/2)+α₁/2　と書ける。もう少し整理して、a,b,cに対応するものを算出すると

a=α₀,  b=α₁,  c=-(α₀²+α₁²)/2

となる。したがって、

|α|²=αα^*=α₀²+α₁²だから、円の中心w₀、および半径Rを複素数を用いて表現すると

となる。これが最終的な答えである。