二次元の固有値問題：重解の場合（その３）

x₀とx₁が一次独立の場合は、A^m=Eであることは証明できた。つぎは、この２つのベクトルが一次従属でありながら互いに異なる場合、すなわちx₁=αx₀の場合を考えよう。ただしαは1ではない整数（α=1だと等しい２つのベクトルになってしまう）。

問題文でAx₀=x_{1という関係式がそもそも与えられているので、組み合わせると}Ax₀=αx<sub>0が成立することになる。これは、x0がAの固有ベクトルであり、その固有値がαであることを意味する。つまり、固有値方程式のように見える。

この両辺に再度Aを作用させると、</sub>x₂=A²x₀=α²x_{0をえる。もし、α=±1だとすると、x2=x0となってしまって題意と矛盾してしまう。したがって、αは１のみならず、−１になってもよくないことがわかる。}このようにして、Aをm回作用させると、x_m=α^mx₀となる。

_{題意より、xm=x0だから、α^m=1でなくてはならない。この方程式の実数解はα=±1(mが偶数の場合）、+1（mが奇数の場合）となるが、どちらの場合も除外しなくてはならないケースになっていることは既に見た。つまり、一次従属の場合はそもそも実現しないのである。}

x₁の変わりに、x₂が議論の対象になったとしても議論の内容は変わらない。したがって、２次元ベクトル空間において、固有値方程式が２個以上の独立なベクトルに対して成立するのであれば、その行列は単位行列でしかありえないことが証明できた。