２次元の固有値問題：重解の場合（その２）

前回からの続き。まずは復習から。２次元において、固有値方程式らしき関係式が２個以上成り立っている場合を考えている。k=0,1,2,.....,m-1の自然数kに対して、固有値方程式

式（１）

が成り立っている。つまり、２次元のベクトル空間を考えているのに、固有値方程式らしき関係式がm個（mは３以上の自然数）も成立してしまっている状況だ。Aは2次の正方行列で、ベクトルx_kは、問題文でx_k=Ax_k-1という関係式により与えられている。さらに、x₀はx_mに一致するが、mは３以上の整数（つまり、x₁とx₂は、x₀と必ず異なる）という条件が与えられている。

また、前回の考察で、２次元のベクトル空間では、一次独立なベクトルは最大2つまで選べることを学んだ（理由についてはまだ見ていないが）。まず、最初の一つ目をx₀とした。最初のベクトルは必ず「一次独立」にとることができる、つまり「自明な候補」だ。問題は２番目以降のベクトルだ。２次元の場合は、２番目のベクトルが最初で最後の「非自明な一次独立候補」となる。この問題では、x₁とx₂が確実にx₀と異なるベクトルだという設定なので、この２つが非自明な一次独立なベクトルの自然な候補となる。仮にx₁が２つめの一次独立なベクトルだとしてみよう。

２次元空間において、２つのベクトルが「一次独立」であるということは、幾何学的に考えると、「平行ではない」ということだった。ということは、２つのベクトルはある角度を成して三角形を形作ることになる（ベクトルの始点と終点を結ぶ）。下の図を参照してもらいたい。

２つの「一次独立」なベクトルA,Bと
その「和」A+B、がつくる平行四辺形。

図中には３つのベクトルA,B,A+Bが示されている。一次独立なベクトルをA,Bとしよう。このベクトルの始点は共通であり、終点はそれぞれAとBである。これら３点を結ぶと三角形になるから、ベクトルAとベクトルBは直線上にない、つまり平行ではない（だから独立な訳だ）。２つのベクトルの「足し算」A+Bを考えると、平行四辺形が浮かび上がる。実は、この平行四辺形の面積は、ベクトルA,Bの成分で表すことができる。ベクトルAの成分を(a,b)、ベクトルBの成分を(c,d)と表すことにしよう。このとき、ベクトルA,B,A+Bによって形成された平行四辺形の面積Sは、S=ad-bcで与えられる。（この証明は、実は東大2012年の第５問で出題されている。）面白い事に、Sは２次元の行列式(detとか、determinantなどともいう）の公式と同一の形をしている。これは偶然ではなく、多分理由があるんだろう。いずれにせよ、２つのベクトルが平行四辺形を成すとき一次独立である、ということは、ベクトルA,Bが一次独立であるための条件は、この平行四辺形の面積が０ではないということと同じだ。つまり、ad-bcが０でないとき、この２つのベクトルは一次独立、一方、ad-bc=0のとき、一次従属になる（つまり、平行四辺形は潰れてしまい、ベクトルは平行になる）。

ここまでの議論を踏まえて、列ベクトルx0とx1を横に並べて行列Uを作る事にする。つまり、

式（２）

ただし、それぞれのベクトルの成分は、

式（３）

とした。この2つのベクトルが成す平行四辺形の面積はS=ad-bcであり、それはUの行列式det(U)=ad-bcと一致する。一次独立ということは、Sが有限の面積を持つということだから、det(U)が非零ということ、つまりUの逆行列U^-1が存在するということを意味する。

行列と列ベクトルの積の計算では、行列の「行」成分と、列ベクトルの「列」成分の積和（内積に似た演算）をとるから、A^mU=(A^mx₀ A^mx₁)と書ける。これらのベクトルは固有値方程式、式（１）を満たすから、A^mU=(A^mx₀ A^mx₁)=(x₀ x₁)=Uとなる。両辺に右からUの逆行列をかけると、A^mUU^-1=UU^-1、すなわち、A^m=Eとなる。つまり、式（３）で与えられたベクトル２つが一次独立ならば、A^mは単位行列になるしかないのである。つまり、固有値方程式のように見えた式（１）は、ただの恒等式に成り下がるのである。

まとめると、２次元ベクトル空間において、ある行列Aの固有値が重解となり、その固有値に対応する２つのベクトルが一次独立ならば、この行列Aは単位行列になってしまう、という結論になる。この証明は、n次元の場合にも簡単に拡張できる。一般に、n次元ベクトル空間で、与えられたn次元正方行列がn個の重複固有値を持ち、その固有値に対応するn個の固有ベクトルがそれぞれ一次独立ならば、与えられた行列は単位行列以外にはあり得ない、という定理が成立する。

ところで、京大の試験問題を完全に解き切るには、一次従属の場合も考察しておかなければならない。というのは、高校の数学ではx₀=x₁の場合だけを「等しいベクトル」と呼ぶからだ。つまり、もしx₀=2x₁などのように比例関係（幾何的には「平行関係」）にある場合、それらは「異なるベクトル」と見なされる。ということで、x₀=αx₁(αは１ではない）という関係が成立する場合も、A^m=Eが導けることを示す必要がある。続きで、その議論を展開する事にしよう。