センター試験の数I（その６）

第３問を続ける。次は問題文に従って角ABCの二等分線を導入する。角ABCの２等分線が外接円と交わる点（Bではない方）をDとする。

2等分線の求め方は次のようにした。

(1)局所座標系O'を、点Bを原点にして設定する。O'のx軸と直線BAの成す角度をθ, x軸と直線BCがなす角度をφとする。角ABCは従ってθ+φと表される。この角度の２等分線を直線BDとすると、二等分された角度は(θ+φ)/2だから、BDとx軸のなす角αはθ—(θ+φ)/2の絶対値、すなわちα=|θ―φ|/2となる。θ＞φを仮定すると、α=(θ―φ)/2。

(2)直線BDの傾きはtan(α)だが、加法定理と半角の公式を利用すると、cosθ,sinθ,cosφ,sinφを使って書き表すことができる。cosθやcosφは点A,B,Cの座標を用いて表せる。例えば、

と書ける。cosφも同様に表せる。

(3)よって

によってtan(α)は点A,B,Cの座標によって表すことができる。これを利用して描いたのが上図。

作図する上で、次に問題となるのが点Dの座標だ。直線BDと外接円の交点ということを利用すれば、直線BDの方程式を求めて、外接円の方程式と連立させ、その２次方程式の解を求めることになる。