京大(2005)の問題４

京都大学(2005・前期）の問題４。

a³-b³=217を満たす整数の組(a,b)を全て見つけよ。

「１０分で解ける楽勝問題だ！」と思ったが、1×217の場合をうっかり忘れてしまった...このうっかりミス で、本番の入試ならば点数は半減となったことだろう....

因数分解で1×....というのは、自明すぎて頭から抜けてしまいがち。時間を気にして焦るあまり、こういうミスが入試では出てくる。１０分で解けても、２０分は問題を睨んで見落としを無くさないといけない。気をつけるべし。

それにしても、入試問題にはa³±b³系の因数分解がよく出てくる。あまりに慣れ過ぎて、一般の場合が解けなくなるようでも困るし、頭が固まってしまってもまずい。慣れながらも、慣れすぎないという気持ちが大事かも。

ということで、一般化して考えてみることにした。もしかして...と思ってやってみると、案の定うまくいった！ということで、本日「発見」したのが、この恒等式（とはいえ、数百年前に誰かが既に発見しているとは思うが）

式（１）

簡単に証明できるのも嬉しい。符号を＋に変えたバージョンもすぐに証明できるはず。それこそ、「この公式を数学的帰納法で証明せよ」なんて問題がいつかどこかで出るかも。

それにしても、大学入試には意外にも中学で習う数学がかなり出てくるので驚いている。217=7×31という因数分解は中学１年で習う内容だったか？（もしかすると、小学校だったりして。）また、この問題は結局２次方程式を解く事になるわけで、それも中学の問題。つまり、この京大の問題は高校入試レベルの問題ということになるのでは？