円錐曲線の幾何学的な意味：放物線（その１）

二次形式では表せないが、二次関数の代表である放物線の幾何学的な意味を考察してみたい。まず定義から。この定義は、たしか高校の教科書にも載っていたと思う。

y軸上に点Q(0,c)を取る。c＞0と仮定する。

つぎに、y=-cの水平な直線lを考える。

最後に、点Fからの距離と、直線lからの距離が等しくなるような点P(x,y)の集合を考える。

点Qと直線lからの距離が等しい点Pの集合は、
放物線となる。

PQの距離の二乗は（ピタゴラスの定理により）x²+(y-c)²であり、直線lから点Pまでの距離の自乗は(y+c)²である。条件より、これら２つの量（距離の自乗）が等しいとすると、x²+(y-c)²＝(y+c)²が成り立つ。両辺を見比べると、y²がうまく相殺できることがわかる。これにより、yに関しては線形項（つまり1次の項）のみが残ることになる。xに関しては明らかに二次式なので、整理すると

式（１）

すなわち放物線の式（あるいは二次関数の式）を得る。x=0のところで、点Fと直線lからの距離（cとなる）が原点で等しくなるように設定されていることから、この放物線は原点を通ることになった。

c＜0とすると下向きの放物線となる。この証明には、座標をy軸に関してひっくり返すだけでよい。その後で、上の議論を繰り返せば同じ結論を得る。c=0の場合は、直線lと点Fが重なってしまうため放物線にはならない。そもそも、条件を満たすような点Pは原点のみとなり、曲線を描くことはない。この理由によりc=0は除外する。

ここで登場した点Q(0,c)は幾何光学で重要な役割を果たす。この点を「焦点」という。「放物線で反射した光線は必ず焦点に集まる」という幾何学的な意味を持っている。この性質を利用しているのがパラボラアンテナだ。そもそもパラボラ(parabola)というのは「放物線」という意味の英語だ。

焦点の持つこの性質を、計算で確認してみよう。

（つづく）