センター試験の数学2018: 集合の包含関係の問題(2)

次は(2)を解いて見よう。ちなみに、MathJaXはなかなか使い勝手がよかったので、これからも使っていこうと思う。

(2)は必要条件とか、十分条件とかを判定する問題である。どちらがどちらか混乱し、間違えやすいので、ここでケリをつけておきたい。

与えられた条件は４つあるが、これらの条件に合致する「集合」の包含関係を考えることで、間違えることはなくなる。まずは、それぞれの条件を見てみよう。今年は、次の条件を満たす実数xの集合である。

$$p: |x-2| > 2, \ q: x < 0, \ r: x > 4, \ s: \sqrt{x^2} > 4$$

条件qとrが指定する集合QとRは文字どおりの集合であり、特に分析する必要はない。条件pを満たす集合Pは、不等式を解くことにより、4より大きいか、あるいは０より小さい実数の集合となる。すなわち $$p: x < 0, x > 4$$ である。これはP=Q+R、あるいは$P=Q\cup R, Q \cap R = \emptyset$と表せる。

一方、条件sは$x < -4, 4 < x$と書き直すことができるので、$S \supset R$であることは明らかである。

さて最初の問題は、「qまたはr」という条件が、条件pに対するどんな条件になっているか判定する問題である。これは$Q \cup R$という集合と、集合Pの包含関係を見極めることから始まる。上ですでに考察したように、$Q \cup R = P$という関係が成り立っているので、これらの集合は等価な集合である。このような場合は、「必要十分条件」に相当する。英語でいうところの"if and only if"というやつである。つまり、"p holds if and only if q or r holds"と書き直せる。

次の問題は、条件sと条件rの包含関係である。これも上で考察したように$S \supset R$である。大きな集合に対応する命題は、より小さな集合に対応する命題が成立するための「必要条件」であり、その逆が「十分条件」である。この場合はSの方が大きな集合になっているので、s→rにおけるsはrの「必要条件」である。つまり "r holds if s holds"である。

したがって、ケ：(2),　コ：(0)が正解となる。